طیف عدد موج

حسین اتحادی جمعه 11 تیر 1395 10:13 ب.ظ نظرات ()

طیف عدد موج ^[۱] بیانگر سهم انرژی ادیهایی با اندازه های مختلف (در مقابل ادیهای با فرکانسهای مختلف برای طیف فرکانسی) در انرژی جنبشی اغتشاش می باشد. طیف عدد موج را نمی توان براحتی مستقیماً با استفاده از وسایل موجود اندازه گیری بدست آورد. در عمل آنرا با استفاده از تبدیل فوریه تابع ارتباز مکانی و با استفاده از فرضیه ی تیلور و طیف فرکانسی بدست می آورند.

طیف عدد موج یک و چند بعدی

در صورتی که اندازه گیری های لازم جهت محاسبه ی طیف مورد نظر در یک بعد انجام گیرند به آن طیف، طیف یک بعدی و در صورتیکه در سه بعد انجام گیرد به آن طیف سه بعدی می گویند. طیف فرکانسی یک طیف یک بعدی می باشد.

درمورد طیف یک بعدی عدد موج متاسفانه بایستی اذعان داشت که استفاده از آن مناسب نبوده و می تواند تا حدی گمراه کننده باشد. این امر بدلیل سه بعدی بودن جریان مغشوش در فضای مکانی (یا عدد موج) است.

به عنوان مثال طیف های یک بعدی عدد موج اندازه گیری شده معمولاً دارای مقادیر محدودی در مبدا مختصات ( $k = 0$ ) می باشند که طبیعتاً نمی تواند به سهم انرژی ادیهای با عدد موج صفر تلقی گردد.این امر بدلیل پدیده ای به نام aliasing اتفاق می افتد.

شکل

توابع ارتباط مکانی اندازه گیری شده در یک جهت x نه تنها متاثر از اثر ادیهای با سایز k که در جهت x حرکت می کنند می باشند بلکه از ادیهایی با k بیشتر که در مایل نسبت به x حرکت می کنند نیز می باشند و لذا طیف انرژی در k در برگیرنده سهم انرژی ناشی از تمامی ادیهای با k های بزرگتر که در جهات دیگر حرکت می کنند نیز می باشد. مشکل aliasing در اعداد موج بالا جدی نبوده . چه اینکه ادیهای کوچک تقریباً دارای اندازه مساوی در تمامی جهات می باشند.(isotropy)

به ادامه ی مطلب مراجعه کنید

طیف سه بعدی

برای جلوگیری از مشکل aliasing اندازگیریها را در جهات مختلف انجام داده و تبدیل فوریه سه بعدی توابع ارتباط در جهات مختلف طیف سه بعدی را که تابعی از $k_i\,$ می باشد نتیجه میدهد. این امر مشکل liasing را حل نموده ولی پیچیدگی مسئله زیاد می شود. برای سهولت کار معمولا طیف سه بعدی را بر روی سطح یک کره حول مبدا فضای عدد موج انتگرال گرفته تا طیف عدد موجی که تابعی از اندازه k است بدست آید. به نتیجه حاصله طیف سه بعدی عدد موج می گویند.

یعنی:

$R_{ij}\vec{( r)}\equiv \overline{u_i^{\prime}(\vec{x},t) u_j^\prime (\vec{x}+\vec{r},t)}$

(4-44)

$R_{ij}(\vec{k})=\int \int \int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_{ij}(\vec{k})e^{i\vec{k}.\vec{r}} d\vec{k}$

(4-45)

$\phi_{ij}(\vec{k})=\frac{1}{(2 \pi ^3)}\int \int_{-\infty}^{+\infty} \int R_{ij}(\vec{r})e^{- i\vec{k}.\vec{r}} d\vec{r}$

که $\phi_{ij}\,$ تانسور طیف عدد موج نامیده میشود. خواهیم داشت:

(4-46)

$R_{ii}(0)=\overline{u_iu_i}=\int\int\int \phi_{ii}(\vec{k})d \vec{k}$

برای برطرف نمودن اثر جهت $\vec{k}\,$ تعریف می کنیم:

(4-47)

$E(k)=\frac{1}{2}\oint\phi_{ii}(\vec{k})d\sigma$

ضریب $\frac{1}{2} \,$ به دلخواه اضافه شده، $\sigma\,$ المان سطح کره به شعاع $k\,$ و $E(k)\,$ چگالی انرژی میباشند.

لطفاً در فرمول دقت شود

(4-48)

$\int_{0}^{\infty}E(k)\,dk=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} [\oint\oint\phi_{ii}(\vec{k})d\sigma ]\,dk=\frac{1}{2}\iiint_{-\infty}^{\infty}\phi_{ii}(\vec{k})\,d\vec{k}=\frac{1}{2}\overline{u_i.u_i}=K$

طیف های متداول یک بعدی

در عمل غالباً توابع ارتباط طولی و عرضی $R_{11}(r,0,0),R_{22}(r,0,0)\,$ اندازه گیری می شوند. بر این اساس طیف های طولی و عرضی $F_{11}\left(k_1\right),F_{22}(k_1)$ به صورت زیر تعریف می شوند:

(4-49)

$R_{11}(r,0,0)\equiv\int_{-\infty }^{+\infty } F_{11} (k_1)e^{ik_1r}dk_1\,$

(4-50)

$R_{22}(r,0,0)\equiv \int_{-\infty }^{+\infty } F_{22}(k_1)e^{i k_1 r}dk_1$

در حالت کلی رابطه بین $E,F_{22},F_{11}\,$ روابط پیچیده ای می باشند. ولی در جریان ایزتروپ این روابط ساده تر بیان می شوند.

از معادلات 35-3و36-3 داریم:

$R_{11}(r)=\overline{u^{\prime 2}}f(r)$

$R_{22}(r)=\overline{u^{\prime 2}}g(r)$

همچنین رابطه بین f و g توسط معادله 40-3 بصورت زیر بیان شد.

$g=f+\frac{1}{2} r\frac{\partial f}{\partial r}$

که می توان آنرا بصورت زیر نوشت:

$R_{22}=R_{11}+\frac{1}{2} r\frac{\partial R_{11}}{\partial r}$

حال تبدیل فوریه را به دست می آوریم.

$\frac{1}{2\pi} \left[ \int_{-\infty }^{\infty } e^{- i k_1r }R_{22}(r)dr =\int_{-\infty }^{+\infty }e^{- i k_1r }R_{11}dr+\int_{-\infty }^{+\infty } e^{- i k_1r } \frac{1}{2}r\frac{\partial R_{11}}{\partial r} dr \right]$

برای جریان ایزوتروپ داریم:

(4-51)

$E(k)=k^3\frac{d}{dk} \left(\frac{1}{k} \frac{dF_{11}}{dk}\right)$

(4-52)

$\frac{d}{dk_1} F_{22}(k_1)=-\frac{k_1}{2}\frac{d^2}{dk_1^2}F_{11}(k_1)$

و یا

$F_{22}(k_1)=\frac{1}{2} \left[ F_{11} (k_1)-k_1\frac{dF_{11}(k_1)}{dk_1} \right]$

معادله51 را غالبا برای محاسبه $E\,$ در k های بالا با استفاده از اندازه گیری $F_{11}\,$ بکار می گیرند. (در K های بالا فرض ایزتروپ بودن جریان نسبتا معتبر است)

با توجه به معادلات ۵۱ و ۵۲ اگر

$E\propto k^n\rightarrow \begin{cases} F_{11}\propto &k_1^n \\ F_{22}\propto &k_1^n \end{cases}$

در نتیجه در صورتیکه در قسمت عمده طیف انرژی $E\,$ داشته باشیم

$E\propto k^{-5/3}\,$

$F_{11}\propto k^{-5/3}\,$

در آنصورت در قسمت عمده طیفهای یک بعدی نیز

$F_{22}\propto k_1^{-5/3}\,$

در نتیجه از معادله 52-4 داریم:

$\rightarrow F_{11}=\alpha k_1^{-5/3},F_{22}\approx \beta k_1^{-5/3}$

$\Rightarrow \frac{d}{dk_1}(\alpha k_1^{-5/3})=-\frac{k_1}{2}\frac{d^2}{dk_1^2} (\alpha k_1^{-5/3})$

$\beta .-5/3k_1^{-8/3}=-\frac{k_1}{2} \left( -5/3\alpha \frac{d}{dk_1}k_1^{-8/3}\right)$

$=-\frac{k_1}{2} \left( -5/3 \alpha( - 8/3) k_1^{-11/3}\right)$

(4-53)

$\beta =\frac{4}{3} \alpha \Rightarrow F_{22}\simeq\frac{4}{3} F_{11}$

معادله53-4 برای کنترل ایزتروپ بودن یک ناحیه از جریان بکار می رود.

شکل

شکل تقریبی $F_{22},F_{11}\,$ را می توان با استفاده از ترکیب موجهای ساده جریان ایزتروپ بدست آورد. اگر فرض کنیم که میدان ایزتروپ متشکل از یک سری امواج با طول موج مساوی $\frac{2\pi }{k_*}\,$ بوده که دارای جهتهای مختلف می باشند در آنصورت: